отрицание

        ОТРИЦАНИЕ (в логике) — специальная логическая операция. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее О., свойства и роли которых существенно различаются.

        1. Внешнее О. (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке О. обычно выражается оборотом «неверно, что», за которым следует отрицаемое высказывание.

        В языках формальных теорий О. называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений О. обычно используются символы «\отрицание», «-» или «— 1». В классической логике высказываний формула -А истинна тогда и только тогда, когда формула А ложна.

        Однако в неклассической логике О. может не обладать всеми свойствами классического О. В этой связи возникает вполне закономерный вопрос о минимальном наборе свойств, которому должна удовлетворять некоторая унарная операция, чтобы ее можно было считать О., а также о принципах классификации различных О. в неклассических формальных теориях (см.: Dunn J.M. and Hardegree G.M. Algebraic Methods in Philosophical Logic. Oxford, 2001).

        Фактически указанное выше традиционное понимание внешнего (пропозиционального) О. может быть выражено через систему следующих требований: (I) Если А — истинно (ложно), то не-А — ложно (истинно); (II) Если не-А — истинно (ложно), то А — ложно (истинно). Формально требования (I) и (II) могут быть выражены через условие (1) А р—iB=>B (= —, А, называемое «конструктивная контрапозиция». О., удовлетворяющее условию (1), принято называть минимальным О. Однако оказывается, что условие (1) можно разложить на два более слабых условия: (2) А (= В=>-,В р-Аи(3)А(= — 1 — А, известных, соответственно, как «контрапозиция» и «введение двойного О.». В результате появляется возможность выявить подминимальное О., удовлетворяющее условию (2), но не удовлетворяющее условию (3). Естественно сформулировать условие, обратное (3) и формализующее принцип «снятие двойного О.»: (4) —. - А = А. Минимальное О. (т.е. удовлетворяющее условию (1)или условиям (2) и (3) вместе), для которого выполняется условие (4), называется О. де Моргана. Это О. используется в языке релевантных исчислений (см. Релевантная логика) для преодоления парадоксов импликации. Минимальное О., удовлетворяющее дополнительному свойству (5): Если А — • В, то для любого С верно, что А р С («свойство абсурдности»), — называется интуиционистским О. (см. Интуиционистская логика). Можно сформулировать принцип (6), двойственный принципу абсурдности: Если В |=Аи—S р А, то для любого С верно, что С р А. Удовлетворяющее этому принципу О. представляет собой разновидность О. в паранепротиворечивой логике. Наконец, О. де Моргана (свойства (2), (3), (4)), для которого выполняется (5) или (6), называется ор-то-О. Если в соответствующем исчислении принимается аксиома дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции, то орто-О. называется О. Буля, или классическим О.

        2. Внутреннее О. входит в состав простого высказывания. Различают О. в составе связки (отрицательная связка) и терминное О.

        О. в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений («Иван не знает Петра»), или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.

        Терминное О. используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не» или близкие ей по смыслу («Все неспелые яблоки — зеленые»). О терминном О. подробнее см. Силлогистика.

        Д.В. Зайцев